数学検定2級

【高校数学 Ⅱ】 指数関数と対数関数

問1
次の式を計算しなさい。 \[ \sqrt[3]{54}+\sqrt[3]{-16}-\sqrt[3]{\frac{1}{4}} \]
▼解答・解説
答え：\( \dfrac{\sqrt[3]{2}}{2} \)
\[ \sqrt[3]{54}=\sqrt[3]{27\cdot 2}=3\sqrt[3]{2},\qquad \sqrt[3]{-16}=-\sqrt[3]{8\cdot 2}=-2\sqrt[3]{2} \] \[ \sqrt[3]{\frac{1}{4}}=\sqrt[3]{\frac{2}{8}}=\frac{\sqrt[3]{2}}{2} \] よって \[ 3\sqrt[3]{2}-2\sqrt[3]{2}-\frac{\sqrt[3]{2}}{2}=\frac{\sqrt[3]{2}}{2} \]
問2
次の式を計算しなさい。 \[ \log_2 \frac{4}{3}+2\log_2 \sqrt{6}-\log_2 \frac{1}{2} \]
▼解答・解説
答え：\( 4 \)
\( 2\log_2\sqrt{6}=\log_2(\sqrt{6})^2=\log_2 6 \) なので \[ (\text{与式})=\log_2\left(\frac{4}{3}\times 6\div\frac{1}{2}\right)=\log_2 16=\log_2 2^4=4 \]
問3
次の式を計算しなさい。 \[ \log_2 9\cdot\log_3 5\cdot\log_{25} 8 \]
▼解答・解説
答え：\( 3 \)
底の変換公式を用いて、底を10(または任意の共通の底)にそろえます。 \[ \log_2 9=\frac{2\log 3}{\log 2},\quad \log_3 5=\frac{\log 5}{\log 3},\quad \log_{25} 8=\frac{3\log 2}{2\log 5} \] \[ (\text{与式})=\frac{2\log 3}{\log 2}\cdot\frac{\log 5}{\log 3}\cdot\frac{3\log 2}{2\log 5}=3 \]
問4
次の3つの数を小さい順に並べなさい。 \[ \sqrt[3]{3},\qquad \sqrt[4]{5},\qquad \sqrt{2} \]
▼解答・解説
答え：\( \sqrt{2}<\sqrt[3]{3}<\sqrt[4]{5} \)
3つの数はすべて正なので、それぞれを12乗して比べます(2, 3, 4 の最小公倍数が12)。
数\( \sqrt[3]{3}=3^{\frac{1}{3}} \)\( \sqrt[4]{5}=5^{\frac{1}{4}} \)\( \sqrt{2}=2^{\frac{1}{2}} \)
12乗\( 3^4=81 \)\( 5^3=125 \)\( 2^6=64 \)
\( 64<81<125 \) より \( \sqrt{2}<\sqrt[3]{3}<\sqrt[4]{5} \)
問5
次の方程式を解きなさい。 \[ 4^x-3\cdot 2^{x+1}+8=0 \]
▼解答・解説
答え：\( x=1,\ 2 \)
\( 2^x=t \) とおくと \( t>0 \) で、\( 4^x=t^2,\ 2^{x+1}=2t \) より \[ t^2-6t+8=0 \quad\Longrightarrow\quad (t-2)(t-4)=0 \] \( t=2,\ 4 \)(いずれも \( t>0 \) を満たす)。
\( 2^x=2 \) より \( x=1 \)、\( 2^x=4 \) より \( x=2 \)
問6
次の方程式を解きなさい。 \[ \log_2(x-1)+\log_2(x+2)=2 \]
▼解答・解説
答え：\( x=2 \)
真数は正なので \( x-1>0 \) かつ \( x+2>0 \)、すなわち \( x>1 \) …①
方程式を変形すると \[ \log_2(x-1)(x+2)=\log_2 4 \quad\Longrightarrow\quad (x-1)(x+2)=4 \] \[ x^2+x-6=0 \quad\Longrightarrow\quad (x+3)(x-2)=0 \] \( x=-3,\ 2 \) のうち ① を満たすのは \( x=2 \)
問7
次の不等式を解きなさい。 \[ \log_{\frac{1}{3}}(x-1)+\log_{\frac{1}{3}}(x-3)>-1 \]
▼解答・解説
答え：\( 3\lt x\lt 4 \)
真数は正なので \( x-1>0 \) かつ \( x-3>0 \)、すなわち \( x>3 \) …①
\( -1=\log_{\frac{1}{3}}3 \) より、不等式は \[ \log_{\frac{1}{3}}(x-1)(x-3)>\log_{\frac{1}{3}}3 \] 底 \( \dfrac{1}{3} \) は1より小さいので、不等号の向きが逆になり \[ (x-1)(x-3)\lt 3 \quad\Longrightarrow\quad x^2-4x\lt 0 \quad\Longrightarrow\quad 0\lt x\lt 4 \] ① との共通範囲をとって \( 3\lt x\lt 4 \)
問8
\( 1\le x\le 8 \) のとき、関数 \[ y=(\log_2 x)^2-\log_2 x^4+3 \] の最大値と最小値を求めなさい。また、そのときの \( x \) の値も求めなさい。
▼解答・解説
答え：最大値 \( 3 \)(\( x=1 \) のとき)、最小値 \( -1 \)(\( x=4 \) のとき)
\( \log_2 x=t \) とおくと、\( 1\le x\le 8 \) より \( 0\le t\le 3 \)
\( \log_2 x^4=4\log_2 x=4t \) なので \[ y=t^2-4t+3=(t-2)^2-1 \quad (0\le t\le 3) \]
\( t \)023
\( x \)148
\( y \)3−10
よって \( t=0 \)(\( x=1 \))で最大値 \( 3 \)、\( t=2 \)(\( x=4 \))で最小値 \( -1 \)
問9
\( \log_{10}2=0.3010,\ \log_{10}3=0.4771 \) とします。
\( 6^{30} \) は何桁の整数ですか。また、\( 6^{30} \) の最高位の数字を求めなさい。
▼解答・解説
答え：24桁、最高位の数字は 2
\[ \log_{10}6^{30}=30(\log_{10}2+\log_{10}3)=30\times 0.7781=23.343 \] よって \( 10^{23}<6^{30}<10^{24} \) となり、\( 6^{30} \) は 24桁の整数。
また \( 6^{30}=10^{23.343}=10^{0.343}\times 10^{23} \) で、 \[ \log_{10}2=0.3010<0.343<0.4771=\log_{10}3 \] より \( 2<10^{0.343}<3 \)。したがって最高位の数字は 2
問10
下の図は、関数 \( y=\log_a(x+p) \) のグラフです。グラフは点 \( (-1,\ 0) \) と点 \( (1,\ 1) \) を通り、直線 \( x=-2 \) を漸近線にもちます。定数 \( a,\ p \) の値を求めなさい。
▼解答・解説
答え：\( a=3,\ p=2 \)
点 \( (-1,\ 0) \) を通るので \( \log_a(-1+p)=0 \)。よって \( -1+p=1 \)、すなわち \( p=2 \)
(漸近線 \( x=-p=-2 \) からも \( p=2 \) とわかります。)
点 \( (1,\ 1) \) を通るので \[ \log_a(1+2)=1 \quad\Longrightarrow\quad \log_a 3=1 \quad\Longrightarrow\quad a=3 \] このとき \( a>1 \) で右上がりのグラフとなり、図と一致します。