問1
次の式を簡単にせよ。(log2 27＋log4 3)(log3 4＋log27 2)
解答・解説
解答：496
t＝log2 3 とおく。底の変換より、log2 27＝3t、log4 3＝t/2、log3 4＝2/t、log27 2＝1/(3t)。したがって、与式＝7t2×73t＝496。
数学検定2級
【高校数学 Ⅱ】指数対数と対数関数
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問2
x＞0、x≠1、a、b、c＞0 とする。logx a＝12、logx b＝15、logx c＝110のとき、logabc x の値を求めよ。
解答・解説
解答：54
積の対数の公式より、logx abc＝12＋15＋110＝45。底と真数を入れ替えると逆数になるので、logabc x＝54。
問3
2x＝7y＝√14 のとき、1x＋1y の値を求めよ。
解答・解説
解答：2
共通の値 √14 を底とする対数を考えると、1x＝log√14 2、1y＝log√14 7。よって和は log√14 14＝2 となる。
問4
次の式を簡単にせよ。2log3 9−4log1/9 27＋6log27 13
解答・解説
解答：8
それぞれの対数は 2、−32、−13 である。したがって、与式＝2×2−4×(−32)＋6×(−13)＝8。
問5
c＝(1＋log2 5)(log10 40−21＋2log4 5) とするとき、2c の値を求めよ。
解答・解説
解答：10
t＝log2 5 とおくと、log10 40＝3＋t1＋t、2log4 5＝t。したがって、c＝(1＋t)(3＋t1＋t−21＋t)＝1＋t。よって 2c＝2×2t＝2×5＝10。
問6
a＝log3 2 とするとき、log2 12 を a を用いて表せ。
解答・解説
解答：2a＋1a
12＝3×2² より、log2 12＝log2 3＋2＝1a＋2＝2a＋1a。底の変換により log2 3＝1/a を使う。
問7
次の方程式を解け。(log2 x)²−4log2 x＋3＝0
解答・解説
解答：x＝2、8
真数条件は x＞0。t＝log2 x とおくと、t²−4t＋3＝0、すなわち (t−1)(t−3)＝0。t＝1、3 なので x＝2¹、2³。どちらも真数条件を満たす。
問8
次の不等式を解け。log1/2 (x−1)＋log1/2 (x＋1)≧−3
解答・解説
解答：1＜x≦3
真数条件から x＞1。左辺をまとめると log1/2 (x²−1)。−3＝log1/2 8 であり、底が 0 と 1 の間なので対数関数は減少する。したがって x²−1≦8、つまり −3≦x≦3。真数条件との共通範囲は 1＜x≦3。
問9
1≦x≦8 のとき、関数 y＝(log2 x)(log2 16x) の最大値・最小値と、そのときの x を求めよ。
解答・解説
解答：最大値 4（x＝4）、最小値 0（x＝1）
t＝log2 x とおくと 0≦t≦3。y＝t(4−t)＝−(t−2)²＋4 より、最大値は t＝2 のとき 4。端点での値は t＝0 のとき 0、t＝3 のとき 3 なので、最小値は 0。x＝2t より、対応する x はそれぞれ 4、1 となる。
問10
整数 340 は何桁か。ただし、log10 3＝0.4771 とする。
解答・解説
解答：20 桁
log10 (340)＝40×0.4771＝19.084。したがって 1019＜340＜1020。1019 以上 1020 未満の整数は 20 桁である。