数学検定2級

$\cos \frac{7\pi }{12}=\cos (\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{12})=-\sin \frac{\pi }{12}$ より、最初の2項の和は0です。また、$\sin \frac{7\pi }{12}=\sin (\pi -\frac{5\pi }{12})=\sin \frac{5\pi }{12}$ なので、残りの2項も打ち消し合います。

$\tan (\pi -\alpha )=-\tan \alpha$ より、$\tan \frac{5\pi }{6}=-\tan \frac{\pi }{6}=-\frac{\sqrt{3}}{3}$ です。したがって、

正弦の中の角が $2\pi$ 増えると、同じ値に戻ります。周期を $T$ とすると $3T=2\pi$ なので、$T=\frac{2\pi }{3}$ です。角に加えられた定数 $-\frac{\pi }{4}$ は周期を変えません。

余弦の中の角が $2\pi$ 増えるためには、$\frac{T}{2}=2\pi$ であればよいので、$T=4\pi$ です。外側の係数2は振幅を変えますが、周期は変えません。

$t=\cos \theta$ とおくと、$-1\le t\le 1$ です。${\sin }^2\theta =1-{\cos }^2\theta$ より、 $t=-\frac{1}{2}$ は範囲内なので、最大値は $\frac{23}{4}$。$\cos \theta =-\frac{1}{2}$ を満たす角は $\theta =\frac{2\pi }{3},\frac{4\pi }{3}$ です。

問5と同様に、$t=\cos \theta$ とおくと $y=-3(t+\frac{1}{2}{)}^2+\frac{23}{4}$、$-1\le t\le 1$ です。下に開く放物線なので、区間の両端の値を比較します。 よって最小値は $-1$ です。$\cos \theta =1$ より $\theta =0$。$2\pi$ は指定された範囲に含まれません。

左辺を因数分解すると、 したがって、$\sin \theta =-\frac{1}{2}$ または $\sin \theta =1$ です。前者から $\theta =\frac{7\pi }{6},\frac{11\pi }{6}$、後者から $\theta =\frac{\pi }{2}$ が得られます。

$u=\pi \cos x$ とおくと、$-\pi \le u\le \pi$ です。この範囲で $\cos u=\frac{1}{2}$ を満たすのは、$u=\pm \frac{\pi }{3}$。よって、 どちらも $0<x<\pi$ に1個、$\pi <x<2\pi$ に1個ずつ解をもち、合計4個です。両端 $x=0,2\pi$ は解ではありません。

$u=\pi \sin x$ とおくと、$-\pi \le u\le \pi$。この範囲で $\sin u=0$ となるのは $u=-\pi ,0,\pi$ です。したがって、$\sin x=-1,0,1$ のいずれかです。 以上の5個です。今回は両端の0と $2\pi$ をともに含むため、別々の解として数えます。

加法定理を使って合成します。 $v=\theta +\frac{\pi }{3}$ とおくと、$\frac{\pi }{3}\le v\le \frac{4\pi }{3}$ です。$v=\frac{\pi }{2}$ で $\sin v=1$ となり、最大値は2。このとき $\theta =\frac{\pi }{6}$ です。この区間での $\sin v$ の最小値は右端 $v=\frac{4\pi }{3}$ の $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ なので、$y$ の最小値は $-\sqrt{3}$、$\theta =\pi$ です。