数学検定2級

(1) $m:n$ に内分する点は $\left(\dfrac{nx_1+mx_2}{m+n},\ \dfrac{ny_1+my_2}{m+n}\right)$ より $$x=\frac{1\cdot(-2)+3\cdot 6}{3+1}=\frac{16}{4}=4,\qquad y=\frac{1\cdot 4+3\cdot(-4)}{3+1}=\frac{-8}{4}=-2$$ (2) $m:n$ に外分する点は，内分の公式の $n$ を $-n$ に置きかえて $$x=\frac{-1\cdot(-2)+3\cdot 6}{3-1}=\frac{20}{2}=10,\qquad y=\frac{-1\cdot 4+3\cdot(-4)}{3-1}=\frac{-16}{2}=-8$$

(1) 重心は3頂点の座標の平均だから $$\mathrm{G}\left(\frac{1+(-3)+5}{3},\ \frac{5+(-1)+2}{3}\right)=(1,\ 2)$$ (2) 点 $\mathrm{A}$ が原点にくるように平行移動すると， $\overrightarrow{\mathrm{AB}}=(-4,\ -6)$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=(4,\ -3)$ となる。
3点 $(0,0)$，$(x_1,y_1)$，$(x_2,y_2)$ を頂点とする三角形の面積は $\dfrac12\left|x_1y_2-x_2y_1\right|$ だから $$S=\frac12\left|(-4)\cdot(-3)-4\cdot(-6)\right|=\frac12\left|12+24\right|=18$$

直線 $2x-y+1=0$ は $y=2x+1$ と変形でき，傾きは $2$ である。
(1) 平行な直線の傾きも $2$ だから $$y-3=2(x-2)\quad\text{すなわち}\quad 2x-y-1=0$$ (2) 垂直な直線の傾きを $m$ とすると $2m=-1$ より $m=-\dfrac12$。よって $$y-3=-\frac12(x-2)\quad\text{すなわち}\quad x+2y-8=0$$

$\mathrm{B}(p,\ q)$ とする。条件は「$\mathrm{AB}\perp\ell$」と「線分 $\mathrm{AB}$ の中点が $\ell$ 上にある」の2つである。
① $\ell$ の傾きは $-\dfrac12$ だから，直線 $\mathrm{AB}$ の傾きは $2$。 $$\frac{q-3}{p-3}=2\quad\Longrightarrow\quad 2p-q=3$$ ② 中点 $\left(\dfrac{p+3}{2},\ \dfrac{q+3}{2}\right)$ が $\ell$ 上にあるから $$\frac{p+3}{2}+2\cdot\frac{q+3}{2}-4=0\quad\Longrightarrow\quad p+2q=-1$$ ①，② を連立して解くと $p=1,\ q=-1$。

点 $(x_1,\ y_1)$ と直線 $ax+by+c=0$ の距離 $d$ は $$d=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$$ (1) $$d=\frac{|4\cdot4-3\cdot3+8|}{\sqrt{4^2+(-3)^2}}=\frac{15}{5}=3$$ (2) 直線 $3x+4y-2=0$ 上の点 $(2,\ -1)$ と，直線 $3x+4y+18=0$ の距離を求めればよい。 $$d=\frac{|3\cdot2+4\cdot(-1)+18|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{20}{5}=4$$

求める円を $x^2+y^2+lx+my+n=0$ とおく。
$\mathrm{O}(0,0)$ を通るから $n=0$
$\mathrm{A}(4,4)$ を通るから $32+4l+4m=0$ より $l+m=-8$
$\mathrm{B}(2,6)$ を通るから $40+2l+6m=0$ より $l+3m=-20$
これを解いて $l=-2,\ m=-6$。よって $x^2+y^2-2x-6y=0$
平方完成すると $$(x-1)^2+(y-3)^2=10$$ したがって，中心 $(1,\ 3)$，半径 $\sqrt{10}$ である。

接点を $(x_1,\ y_1)$ とすると，接線の方程式は $x_1x+y_1y=5$ …①
接点は円上にあるから　$x_1^2+y_1^2=5$ …②
① が点 $(3,1)$ を通るから　$3x_1+y_1=5$　すなわち　$y_1=5-3x_1$ …③
③ を ② に代入すると $$x_1^2+(5-3x_1)^2=5\quad\Longrightarrow\quad x_1^2-3x_1+2=0\quad\Longrightarrow\quad (x_1-1)(x_1-2)=0$$ $x_1=1$ のとき $y_1=2$，$x_1=2$ のとき $y_1=-1$。
これを ① に代入して，接線は $x+2y=5$，$2x-y=5$ となる。

(1) $y=x+1$ を円の方程式に代入して $$x^2+(x+1)^2=25\quad\Longrightarrow\quad x^2+x-12=0\quad\Longrightarrow\quad (x+4)(x-3)=0$$ $x=3$ のとき $y=4$，$x=-4$ のとき $y=-3$。
(2) 2点間の距離を求めて $$\sqrt{\{3-(-4)\}^2+\{4-(-3)\}^2}=\sqrt{49+49}=7\sqrt2$$ 【別解】中心 $\mathrm{O}$ と直線 $x-y+1=0$ の距離は $d=\dfrac{1}{\sqrt2}$。
三平方の定理より，弦の長さの半分は $\sqrt{25-\dfrac12}=\dfrac{7}{\sqrt2}$。よって弦の長さは $2\cdot\dfrac{7}{\sqrt2}=7\sqrt2$。

$\mathrm{P}(x,\ y)$ とする。$\mathrm{AP}:\mathrm{BP}=2:1$ より $\mathrm{AP}=2\mathrm{BP}$，すなわち $\mathrm{AP}^2=4\mathrm{BP}^2$ だから $$(x+2)^2+y^2=4\left\{(x-4)^2+y^2\right\}$$ $$x^2+4x+4+y^2=4x^2-32x+64+4y^2$$ $$x^2+y^2-12x+20=0\quad\Longrightarrow\quad (x-6)^2+y^2=16$$ 逆に，この円上の点はすべて条件を満たす。
よって，求める軌跡は中心 $(6,\ 0)$，半径 $4$ の円（アポロニウスの円）である。

与えられた連立不等式の表す領域は，4点 $(0,0)$，$(3,0)$，$(2,3)$，$(0,4)$ を頂点とする四角形の周および内部である。
（頂点 $(2,3)$ は $x+2y=8$ と $3x+y=9$ の交点）
$2x+y=k$ とおくと $y=-2x+k$ は傾き $-2$，$y$ 切片 $k$ の直線を表す。
この直線が領域と共有点をもつときの $k$ の最大値を考える。
傾き $-2$ は，2直線の傾き $-3$ と $-\dfrac12$ の間にあるから，直線が点 $(2,3)$ を通るとき $k$ は最大になる。 $$k=2\cdot 2+3=7$$

頂点	$(0,0)$	$(3,0)$	$(2,3)$	$(0,4)$
$2x+y$	$0$	$6$	$7$	$4$