数学検定2級
【高校数学 Ⅱ】 図形と方程式
全10問 ／ 問題番号・順番は固定です。各問の▼から解答・解説を確認できます。
問1
定数 k に対し、直線 (k＋2)x－(2k－1)y－5k－5＝0 は、k の値によらず定点 A を通る。A の座標を求めよ。
解答・解説
解答：A(3, −1)
k について整理すると、k(x－2y－5)＋2x＋y－5＝0。すべての k で成り立つので、x－2y－5＝0、2x＋y－5＝0 を同時に満たす。これを解くと x＝3、y＝−1。
問2
定数 t に対し、直線 (2t－1)x＋(t＋3)y＋t－11＝0 が必ず通る定点 P の座標を求めよ。
解答・解説
解答：P(−2, 3)
t(2x＋y＋1)－x＋3y－11＝0 と整理する。2x＋y＋1＝0、−x＋3y－11＝0 を連立し、y＝−2x－1 を代入すると −7x－14＝0。よって x＝−2、y＝3。
問3
3直線 x＋y－1＝0、2x－y－8＝0、a2x－ay－8＝0 が1点で交わるとき、定数 a の値を求めよ。
解答・解説
解答：a＝−2，43
最初の2直線を連立すると、交点は (3, −2)。3本目に代入して 3a2＋2a－8＝0。因数分解すると (3a－4)(a＋2)＝0 なので、a＝−2、43。いずれの場合も3本目は直線を表す。
問4
3直線 2x＋y－7＝0、x－y－2＝0、bx＋b2y－10＝0 が1点で交わるとき、定数 b の値を求めよ。
解答・解説
解答：b＝−5，2
最初の2直線の交点は (3, 1)。3本目に代入して b2＋3b－10＝0。したがって (b＋5)(b－2)＝0 より b＝−5、2。
問5
O(0, 0)、A(6, 0)、B(0, 4) を頂点とする三角形 OAB の面積を、直線 y＝mx＋4 が二等分するとき、m の値を求めよ。
解答・解説
解答：m＝−43
この直線は頂点 B を通る。B から辺 OA への高さは共通なので、面積を二等分するには OA の中点 M(3, 0) を通ればよい。0＝3m＋4 より m＝−43。
問6
O(0, 0)、A(8, 0)、B(2, 6) を頂点とする三角形 OAB の面積を、直線 y＝m(x－2)＋6 が二等分するとき、m の値を求めよ。
解答・解説
解答：m＝−3
直線は m によらず B を通る。辺 OA 上の交点を M とすると、△BOM と △BMA は高さが共通なので、面積比は OM：MA。よって M は OA の中点 (4, 0)。0＝m(4－2)＋6 を解くと m＝−3。
問7
座標平面上に A(3, 1)、B(s, s)、C(t, 0) をとる。ただし s、t は実数とする。AB＋BC＋CA が最小となるときの s、t と、その最小値を求めよ。
解答・解説
解答：s＝53，t＝52，最小値＝2√5
A を直線 y＝x に関して対称移動した点を A′(1, 3)、x 軸に関して対称移動した点を A″(3, −1) とする。AB＝A′B、CA＝CA″ なので、AB＋BC＋CA＝A′B＋BC＋CA″ ≧ A′A″＝√(22＋(−4)2)＝2√5。直線 A′A″ は y＝−2x＋5。この直線と y＝x の交点は B(53, 53)、x 軸との交点は C(52, 0)。A′、B、C、A″ がこの順に一直線上に並ぶため等号が成立し、このとき最小となる。
問8
座標平面上に A(4, 2)、B(s, s)、C(t, 0) をとる。ただし s、t は実数とする。AB＋BC＋CA が最小となるときの s、t と、その最小値を求めよ。
解答・解説
解答：s＝52，t＝103，最小値＝2√10
A の直線 y＝x に関する対称点は A′(2, 4)、x 軸に関する対称点は A″(4, −2)。したがって AB＋BC＋CA＝A′B＋BC＋CA″ ≧ A′A″＝√(22＋(−6)2)＝2√10。直線 A′A″ の式は y＝−3x＋10。y＝x との交点から s＝52、y＝0 との交点から t＝103。この2点は線分 A′A″ 上に A′、B、C、A″ の順で並ぶため、下限が実現する。
問9
3直線 x－2y＋8＝0、3x＋y＋3＝0、c2x＋cy＋14＝0 が1点で交わるとき、定数 c の値を求めよ。
解答・解説
解答：c＝−2，72
最初の2直線を連立すると、交点は (−2, 3)。3本目に代入して −2c2＋3c＋14＝0。両辺に −1 をかけて因数分解すると (2c－7)(c＋2)＝0。よって c＝−2、72。
問10
O(0, 0)、A(6, 0)、B(2, 4) を頂点とする三角形 OAB の面積を、直線 y＝m(x－6) が二等分するとき、m の値を求めよ。
解答・解説
解答：m＝−25
直線は頂点 A(6, 0) を通る。辺 OB 上の交点を M とすると、△AOM と △AMB の高さは共通なので、面積を二等分する M は OB の中点 (1, 2)。したがって 2＝m(1－6) より m＝−25。