数学検定2級

【高校数学 Ⅱ】 複素数と方程式

問1
次の式を計算し、\(a+bi\)(\(a,\ b\) は実数)の形で表しなさい。 \[ \frac{2+3i}{1-2i} \]
▼ 解答・解説

解答　\(\displaystyle -\frac{4}{5}+\frac{7}{5}i\)

解説　分母の共役な複素数 \(1+2i\) を分母・分子に掛けます。

\[ \frac{(2+3i)(1+2i)}{(1-2i)(1+2i)} =\frac{2+4i+3i+6i^2}{1-4i^2} =\frac{2+7i-6}{1+4} =\frac{-4+7i}{5} \]
問2
次の等式を満たす実数 \(x,\ y\) の値を求めなさい。 \[ (x+yi)(2-i)=7+4i \]
▼ 解答・解説

解答　\(x=2,\ y=3\)

解説　左辺を展開して実部と虚部に分けます。

\[ (x+yi)(2-i)=2x-xi+2yi-yi^2=(2x+y)+(-x+2y)i \]

\(x,\ y\) は実数なので、複素数の相等より

\[ \begin{cases} 2x+y=7 \\ -x+2y=4 \end{cases} \]

これを解いて \(x=2,\ y=3\)

問3
\(x\) についての2次方程式 \[ x^2+2(k-1)x+k+5=0 \] が異なる2つの虚数解をもつような、実数 \(k\) の値の範囲を求めなさい。
▼ 解答・解説

解答　\(-1<k<4\)

解説　判別式を \(D\) とすると、虚数解をもつ条件は \(D<0\) です。

\[ \frac{D}{4}=(k-1)^2-(k+5)=k^2-3k-4=(k+1)(k-4) \]

\((k+1)(k-4)<0\) より \(-1<k<4\)

k −1 4 D/4 < 0 となる範囲
問4
2次方程式 \(x^2-3x+5=0\) の2つの解を \(\alpha,\ \beta\) とするとき、次の式の値を求めなさい。
(1)　\(\alpha^2+\beta^2\)
(2)　\(\alpha^3+\beta^3\)
(3)　\(\displaystyle \frac{\beta}{\alpha}+\frac{\alpha}{\beta}\)
▼ 解答・解説

解答　(1) \(-1\)　(2) \(-18\)　(3) \(\displaystyle -\frac{1}{5}\)

解説　解と係数の関係より \(\alpha+\beta=3,\ \alpha\beta=5\)

(1)

\[ \alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta=9-10=-1 \]

(2)

\[ \alpha^3+\beta^3=(\alpha+\beta)^3-3\alpha\beta(\alpha+\beta)=27-45=-18 \]

(3)

\[ \frac{\beta}{\alpha}+\frac{\alpha}{\beta}=\frac{\alpha^2+\beta^2}{\alpha\beta}=\frac{-1}{5}=-\frac{1}{5} \]
問5
2次方程式 \(x^2-x+3=0\) の2つの解を \(\alpha,\ \beta\) とするとき、\(\alpha^2,\ \beta^2\) を解とする2次方程式を1つ作りなさい。
▼ 解答・解説

解答　\(x^2+5x+9=0\)

解説　解と係数の関係より \(\alpha+\beta=1,\ \alpha\beta=3\)

\[ \alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta=1-6=-5,\qquad \alpha^2\beta^2=(\alpha\beta)^2=9 \]

和が \(-5\)、積が \(9\) である2数を解とする2次方程式は

\[ x^2-(-5)x+9=0 \quad\text{すなわち}\quad x^2+5x+9=0 \]
問6
次の式を、複素数の範囲で因数分解しなさい。 \[ x^4-2x^2-8 \]
▼ 解答・解説

解答　\((x+2)(x-2)(x+\sqrt{2}\,i)(x-\sqrt{2}\,i)\)

解説　\(x^2=X\) とおくと \(X^2-2X-8=(X-4)(X+2)\) なので

\[ x^4-2x^2-8=(x^2-4)(x^2+2) \]

\(x^2+2=0\) の解は \(x=\pm\sqrt{2}\,i\) より、\(x^2+2=(x+\sqrt{2}\,i)(x-\sqrt{2}\,i)\)

\[ x^4-2x^2-8=(x+2)(x-2)(x+\sqrt{2}\,i)(x-\sqrt{2}\,i) \]
問7
整式 \(P(x)\) を \(x-1\) で割ると余りが \(5\)、\(x+2\) で割ると余りが \(-4\) である。
\(P(x)\) を \((x-1)(x+2)\) で割ったときの余りを求めなさい。
▼ 解答・解説

解答　\(3x+2\)

解説　2次式で割った余りは1次以下なので、商を \(Q(x)\)、余りを \(ax+b\) とおくと

\[ P(x)=(x-1)(x+2)Q(x)+ax+b \]

剰余の定理より \(P(1)=5,\ P(-2)=-4\) なので

\[ \begin{cases} a+b=5 \\ -2a+b=-4 \end{cases} \]

これを解いて \(a=3,\ b=2\)。よって余りは \(3x+2\)

問8
次の3次方程式を解きなさい。 \[ x^3-3x^2+4x-2=0 \]
▼ 解答・解説

解答　\(x=1,\ 1\pm i\)

解説　\(P(x)=x^3-3x^2+4x-2\) とおくと \(P(1)=1-3+4-2=0\) なので、因数定理より \(P(x)\) は \(x-1\) を因数にもちます。組立除法で割ると

11−34−2
1−22
1−220
\[ P(x)=(x-1)(x^2-2x+2) \]

\(x^2-2x+2=0\) より \(x=1\pm\sqrt{1-2}=1\pm i\)

問9
\(a,\ b\) を実数とする。3次方程式 \[ x^3+ax^2+bx+10=0 \] が \(1+2i\) を解にもつとき、\(a,\ b\) の値と他の解を求めなさい。
▼ 解答・解説

解答　\(a=0,\ b=1\)、他の解は \(x=1-2i,\ -2\)

解説　係数が実数なので、\(1+2i\) が解ならば共役な複素数 \(1-2i\) も解です。

この2数の和は \(2\)、積は \((1+2i)(1-2i)=5\) なので、\(x^2-2x+5\) が左辺の因数になります。残りの解を \(c\) とすると、3つの解の積について

\[ (1+2i)(1-2i)\,c=-10 \quad\text{より}\quad 5c=-10,\quad c=-2 \]

よって

\[ (x^2-2x+5)(x+2)=x^3+x+10 \]

係数を比較して \(a=0,\ b=1\)

問10
方程式 \(x^3=1\) の虚数解の1つを \(\omega\) とするとき、次の問いに答えなさい。
(1)　\(\omega^{100}+\omega^{50}+1\) の値を求めなさい。
(2)　\((1+\omega)^6\) の値を求めなさい。
(3)　\(x^{100}\) を \(x^2+x+1\) で割ったときの余りを求めなさい。
▼ 解答・解説

解答　(1) \(0\)　(2) \(1\)　(3) \(x\)

解説　\(x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)=0\) で、\(\omega\) は虚数解なので

\[ \omega^3=1,\qquad \omega^2+\omega+1=0 \]

(1)　\(100=3\cdot 33+1,\ 50=3\cdot 16+2\) より

\[ \omega^{100}+\omega^{50}+1=\omega+\omega^2+1=0 \]

(2)　\(1+\omega=-\omega^2\) なので

\[ (1+\omega)^6=(-\omega^2)^6=\omega^{12}=(\omega^3)^4=1 \]

(3)　余りを \(ax+b\)(\(a,\ b\) は実数)とおくと

\[ x^{100}=(x^2+x+1)Q(x)+ax+b \]

\(x=\omega\) を代入すると \(\omega^2+\omega+1=0\) より \(\omega^{100}=a\omega+b\)。
\(\omega^{100}=\omega\) なので \(a\omega+b=\omega\)、すなわち \((a-1)\omega+b=0\)。
\(a,\ b\) は実数、\(\omega\) は虚数なので \(a=1,\ b=0\)。よって余りは \(x\)