数学検定2級

解説
2つの解を t, 3t とおく。解と係数の関係から t + 3t = 12 より t = 3。したがって k = t · 3t = 27。

解説
解と係数の関係より α + α² = 4k, α³ = 2k。したがって 2α³ − α² − α = α(2α + 1)(α − 1) = 0。
α = 0, 1 では α = α² となり、異なる2解という条件に反する。よって α = −12。これを k = α³2 に代入して k = −116。

解説
2解を α, β とすると (α − β)² = (α + β)² − 4αβ = a² − 4(a − 2)²。
これが4なので 3a² − 16a + 20 = (3a − 10)(a − 2) = 0。よって上の2値。どちらも判別式が4となり、異なる2実数解をもつ。

解説
解と係数の関係から α + β = 32, αβ = 2。求める値は α² + β²αβ = (α + β)² − 2αβαβ = 9/4 − 42 = −78。

解説
解と係数の関係から α + β = 4, αβ = 7。よって α² + β² = 4² − 2·7 = 2、α²β² = 7² = 49。2解の和が2、積が49なので、求める方程式は x² − 2x + 49 = 0。

解説
最初の式から α + β = a, αβ = b。次の式から a² − 2b = −2a, b² = 3b。
虚数解をもつため a² − 4b < 0 であり、b > 0。よって b = 3。すると a² + 2a − 6 = 0 から a = −1 ± √7。
判別式はそれぞれ −4 − 2√7, −4 + 2√7。後者は正なので不適。したがって a = −1 + √7, b = 3 のみが条件を満たす。

解説
分母を実数化すると z = (3 + 2i)(1 + i)2 = 1 + 5i2。したがって z² = −24 + 10i4 = −6 + 52i。ここから z を引くと、虚部が消えて z² − z = −132。

解説
実数係数なので、共役な複素数 1 − 2i も解。対応する因数は (x − 1 − 2i)(x − 1 + 2i) = x² − 2x + 5。
残りの因数を x − r とすると、定数項より −5r = 10、したがって r = −2。
(x² − 2x + 5)(x + 2) = x³ + x + 10 より a = 0, b = 1。

解説
t = x² とおくと t² + 3t − 4 = (t + 4)(t − 1) = 0。したがって x² = 1 または x² = −4。よって x = ±1, ±2i。

解説
異なる2実数解をもつ条件は D = 4(k² − k − 2) = 4(k − 2)(k + 1) > 0 より k < −1 または k > 2。
さらに2解がともに正である条件は、和 2k > 0 と積 k + 2 > 0。これらをすべて満たす範囲は k > 2。