解答 \(-160\)
解説
一般項は
\[ {}_{6}\mathrm{C}_{k}\,(2x)^{6-k}\left(-\frac{1}{x}\right)^{k} = {}_{6}\mathrm{C}_{k}\cdot 2^{6-k}\cdot(-1)^{k}\,x^{6-2k} \]
定数項は \(6-2k=0\) より \(k=3\) のときであるから
\[ {}_{6}\mathrm{C}_{3}\cdot 2^{3}\cdot(-1)^{3} = 20\cdot 8\cdot(-1) = -160 \]
解答 \(1680\)
解説
多項定理より、\(x^{2}(2y)^{3}(-z)^{2}\) の項の係数は
\[ \frac{7!}{2!\,3!\,2!}\cdot 2^{3}\cdot(-1)^{2} = 210\cdot 8 = 1680 \]
解答 商 \(2x-1\)，余り \(x-4\)
解説
割り算を行うと
\[ \begin{aligned}
2x^{3}-3x^{2}+4x-5 &= (x^{2}-x+1)\cdot 2x + (-x^{2}+2x-5)\\
-x^{2}+2x-5 &= (x^{2}-x+1)\cdot(-1) + (x-4)
\end{aligned} \]
よって
\[ 2x^{3}-3x^{2}+4x-5 = (x^{2}-x+1)(2x-1) + x-4 \]
余り \(x-4\) は 1 次式で、割る式（2 次式）より次数が低いので、商は \(2x-1\)，余りは \(x-4\) です。
解答 \(\dfrac{3}{x(x+3)}\)
解説
\(\dfrac{1}{n(n+1)}=\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}\) を利用して部分分数に分解すると
\[ \begin{aligned}
(\text{与式}) &= \left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}\right)+\left(\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}\right)+\left(\frac{1}{x+2}-\frac{1}{x+3}\right)\\
&= \frac{1}{x}-\frac{1}{x+3} = \frac{(x+3)-x}{x(x+3)} = \frac{3}{x(x+3)}
\end{aligned} \]
解答 \(a=2,\ b=1,\ c=0\)
解説
両辺に \((x+1)(x^{2}+1)\) を掛けて
\[ 3x^{2}+x+2 = a(x^{2}+1)+(bx+c)(x+1) \]
右辺を整理すると
\[ 3x^{2}+x+2 = (a+b)x^{2}+(b+c)x+(a+c) \]
両辺の係数を比較して
\[ a+b=3,\quad b+c=1,\quad a+c=2 \]
これを解いて \(a=2,\ b=1,\ c=0\)
解答 \(a=1,\ b=1,\ c=-1,\ d=2\)
解説
\(x-1=t\) とおくと \(x=t+1\) であるから，左辺は
\[ \begin{aligned}
(t+1)^{3}-2(t+1)^{2}+3 &= (t^{3}+3t^{2}+3t+1)-2(t^{2}+2t+1)+3\\
&= t^{3}+t^{2}-t+2
\end{aligned} \]
これが \(at^{3}+bt^{2}+ct+d\) と \(t\) についての恒等式となるので、係数を比較して
\(a=1,\ b=1,\ c=-1,\ d=2\)
解答 \(\dfrac{26}{29}\)
解説
\(\dfrac{x}{2}=\dfrac{y}{3}=\dfrac{z}{4}=k\ (k\neq 0)\) とおくと，\(x=2k,\ y=3k,\ z=4k\)
よって
\[ \frac{xy+yz+zx}{x^{2}+y^{2}+z^{2}} = \frac{6k^{2}+12k^{2}+8k^{2}}{4k^{2}+9k^{2}+16k^{2}} = \frac{26k^{2}}{29k^{2}} = \frac{26}{29} \]
証明
\(a+b+c=0\) より
\[ b+c=-a,\quad c+a=-b,\quad a+b=-c \]
これらを左辺に代入すると
\[ \begin{aligned}
(\text{左辺}) &= a^{2}(-a)+b^{2}(-b)+c^{2}(-c)+3abc\\
&= -\left(a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc\right)\\
&= -(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca)\\
&= -0\cdot(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca) = 0
\end{aligned} \]
よって，\(a^{2}(b+c)+b^{2}(c+a)+c^{2}(a+b)+3abc=0\) （証明終）
ポイント
因数分解の公式 \(a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc=(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca)\) を利用します。
\(c=-a-b\) として 1 文字を消去する方法でも証明できます。
証明
左辺を展開すると
\[ \left(a+\frac{1}{b}\right)\left(b+\frac{4}{a}\right) = ab+4+1+\frac{4}{ab} = ab+\frac{4}{ab}+5 \]
\(ab>0,\ \dfrac{4}{ab}>0\) であるから，相加平均と相乗平均の関係により
\[ ab+\frac{4}{ab} \geqq 2\sqrt{ab\cdot\frac{4}{ab}} = 4 \]
よって
\[ \left(a+\frac{1}{b}\right)\left(b+\frac{4}{a}\right) \geqq 4+5 = 9 \]
（証明終）
等号成立 \(ab=2\) のとき
等号は \(ab=\dfrac{4}{ab}\)，すなわち \((ab)^{2}=4\) で，\(ab>0\) より \(ab=2\) のときに成り立ちます。
注意
\(a+\dfrac{1}{b}\geqq 2\sqrt{\dfrac{a}{b}}\)，\(b+\dfrac{4}{a}\geqq 2\sqrt{\dfrac{4b}{a}}\) を掛け合わせて \(\geqq 8\) とする方法は，等号が同時に成り立たないため最小値 9 を正しく示せません。展開してから相加・相乗平均を使うのがポイントです。
解答 \(x=1\) のとき最小値 \(4\)
解説
分母の \(x+2\) が現れるように変形すると
\[ x+\frac{9}{x+2} = (x+2)+\frac{9}{x+2}-2 \]
\(x>0\) より \(x+2>0\) であるから，相加平均と相乗平均の関係により
\[ (x+2)+\frac{9}{x+2} \geqq 2\sqrt{(x+2)\cdot\frac{9}{x+2}} = 6 \]
よって
\[ x+\frac{9}{x+2} \geqq 6-2 = 4 \]
等号は \(x+2=\dfrac{9}{x+2}\)，すなわち \((x+2)^{2}=9\) のときで，\(x+2>0\) より \(x+2=3\)，つまり \(x=1\)（\(x>0\) を満たす）のとき成り立ちます。
したがって，\(x=1\) のとき最小値 \(4\) をとります。
注意
\(x+\dfrac{9}{x+2}\) のまま「\(x\) と \(\dfrac{9}{x+2}\)」に相加・相乗平均を使うと，積が定数にならないため最小値は求められません。