数学検定2級
【高校数学 Ⅱ】 式と証明
全10問 ／ ▼をクリックすると、解答・解説を表示します。
問1文字の値と恒等式
等式 kx²＋(1−6k)x−(k＋1)y＋14k＋2＝0 が、すべての実数 k について成り立つように、実数 x, y の値を求めなさい。
解答・解説
解答： (x, y)＝(3, 5), (4, 6)
解説
k(x²−6x−y＋14)＋(x−y＋2)＝0 と整理する。
係数を比較して x²−6x−y＋14＝0, x−y＋2＝0。
y＝x＋2 を代入すると x²−7x＋12＝(x−3)(x−4)＝0。よって上の2組を得る。
係数を比較して x²−6x−y＋14＝0, x−y＋2＝0。
y＝x＋2 を代入すると x²−7x＋12＝(x−3)(x−4)＝0。よって上の2組を得る。
問2係数の決定
次の等式が x についての恒等式となるように、定数 a, b, c の値を求めなさい。
(x＋1)(ax²＋bx＋c)＝2x³＋5x²＋x−2
解答・解説
解答： a＝2, b＝3, c＝−2
解説
左辺を展開すると ax³＋(a＋b)x²＋(b＋c)x＋c。
係数を比較して a＝2, a＋b＝5, b＋c＝1, c＝−2。これを満たすのは a＝2, b＝3, c＝−2。
係数を比較して a＝2, a＋b＝5, b＋c＝1, c＝−2。これを満たすのは a＝2, b＝3, c＝−2。
問3条件付きの恒等式
x＋y＝4 を満たすすべての実数 x, y に対して、x²＋axy＋y²＝b が成り立つ。定数 a, b の値を求めなさい。
解答・解説
解答： a＝2, b＝16
解説
y＝4−x を代入すると、左辺は (2−a)x²＋(4a−8)x＋16。
これがすべての実数 x で定数 b に等しいため、2−a＝0, 4a−8＝0, b＝16。よって a＝2, b＝16。
これがすべての実数 x で定数 b に等しいため、2−a＝0, 4a−8＝0, b＝16。よって a＝2, b＝16。
問4比と対称式
(x＋y):(y＋z):(z＋x)＝4:5:3 かつ x＋y＋z＝18 のとき、xy＋yz＋zx の値を求めなさい。
解答・解説
解答： 99
解説
x＋y＝4t, y＋z＝5t, z＋x＝3t とおく。加えると 2(x＋y＋z)＝12t＝36 より t＝3。
したがって x＋y＝12, y＋z＝15, z＋x＝9 から x＝3, y＝9, z＝6。
よって xy＋yz＋zx＝27＋54＋18＝99。
したがって x＋y＝12, y＋z＝15, z＋x＝9 から x＝3, y＝9, z＝6。
よって xy＋yz＋zx＝27＋54＋18＝99。
問5比例式の利用
x:y:z＝2:3:4 のとき、次の式の値を求めなさい。
x²＋y²＋z²xy＋yz＋zx
解答・解説
解答： 2926
解説
x＝2t, y＝3t, z＝4t (t≠0) とおく。分子は 29t²、分母は 26t² となるので、求める値は 2926。
問6相加平均・相乗平均①
x＞0 のとき、x＋25x の最小値と、そのときの x の値を求めなさい。
解答・解説
解答： 最小値 10（x＝5）
解説
正の2数に対する相加平均・相乗平均の関係より、
x＋25x ≥ 2√25＝10
等号は x＝25/x、すなわち x＝5 のとき成立する。問7式を置き換える最小値
x＞0 のとき、x＋36x＋3 の最小値と、そのときの x の値を求めなさい。
解答・解説
解答： 最小値 9（x＝3）
解説
t＝x＋3 とおくと t＞3。与式は t＋36t−3 ≥ 12−3＝9。
等号は t＝6、すなわち x＝3 のとき成立し、これは条件 x＞0 を満たす。
等号は t＝6、すなわち x＝3 のとき成立し、これは条件 x＞0 を満たす。
問82変数の最小値
x＞0, y＞0 のとき、次の式の最小値と、等号が成り立つ条件を求めなさい。
(2x＋3y)(8x＋3y)
解答・解説
解答： 最小値 49（x＝2y）
解説
展開すると 25＋6xy＋24yx。
後ろの2項は正で、その積は 144 だから、和は 2√144＝24 以上。よって与式は 49 以上。
等号は 6x/y＝24y/x のとき。x, y＞0 より x＝2y。
後ろの2項は正で、その積は 144 だから、和は 2√144＝24 以上。よって与式は 49 以上。
等号は 6x/y＝24y/x のとき。x, y＞0 より x＝2y。
問9等式の証明
実数 a, b, c が a＋b＋c＝0 を満たすとき、a³＋b³＋c³＝3abc が成り立つことを証明しなさい。
解答・解説
解答： 以下の証明を参照。
解説
c＝−(a＋b) を左辺に代入する。
a³＋b³＋c³＝a³＋b³−(a＋b)³
＝−3a²b−3ab²＝−3ab(a＋b)＝3abc
よって証明された。＝−3a²b−3ab²＝−3ab(a＋b)＝3abc
問10不等式の証明
実数 a, b, c に対して a²＋b²＋c² ≥ ab＋bc＋ca を証明し、等号が成り立つ条件も求めなさい。
解答・解説
解答： 等号成立条件：a＝b＝c
解説
左辺から右辺を引くと、
等号は3つの平方がすべて0のとき、すなわち a＝b＝c のときに限り成立する。
a²＋b²＋c²−ab−bc−ca
＝12{(a−b)²＋(b−c)²＋(c−a)²} ≥ 0
平方はすべて0以上なので、不等式が成り立つ。＝12{(a−b)²＋(b−c)²＋(c−a)²} ≥ 0
等号は3つの平方がすべて0のとき、すなわち a＝b＝c のときに限り成立する。