統計的な推論

母集団の分布と、今回の標本

青：母集団モデル／母平均橙：今回の標本／標本平均

縦軸は各階級の割合（％）。青い棒は正規分布から計算した理論上の割合です。

同じ母集団から30人を2回抽出したら、標本平均は必ず一致しますか？

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必ず一致するわけではありません。選ばれる身長が変わるため、標本平均も偶然によって変動します。

橙：抽出した標本平均の相対度数。青線：理論上の N(μ, σ²/n) を階級ごとの割合に換算。

95％信頼区間：x̄ ± 1.96 × σ / √n

緑：含む赤：含まない青の縦線：真の母平均 μ

同じ方法を繰り返すと、作られる区間の約95％が真の母平均を含みます。母平均は固定されており、区間が抽出ごとに変わります。有限回の実験では、含む割合が必ず95％になるわけではありません。「この計算済みの区間に母平均が95％の確率で入る」という意味ではありません。

σが同じとき、標本サイズを25から100にすると、信頼区間の幅は何倍になりますか？

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1/2倍です。標本平均の標準偏差σ/√nが1/2になるため、区間の幅も半分になります。

100個の95％信頼区間は、必ず95個が母平均を含みますか？

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いいえ。含む個数は偶然によって変わります。約95％は、同じ方法を多数繰り返したときの長期的な割合です。

対立仮説：表の確率は0.5ではない（両側検定）／有意水準 α＝5％

青：棄却域以外赤：棄却域（p値 ≤ 0.05）橙の線：観測値 k

観測した表の回数 k（手動でも変更可）

グラフの横方向をマウス／タッチでドラッグしてもkを変更できます。手動で選んだ値は繰り返し実験の集計に入れません。

p値＝ min{1, 2 × min[P(X ≤ k), P(X ≥ k)]}

X ∼ Bin(n, 0.5)。両方の確率に観測値kを含め、二項分布を直接足し合わせます。

「棄却されない」は「公平だと証明された」という意味ではありません。今回のデータでは、不公平と判断する十分な証拠がないということです。公平なコインでも偶然棄却される場合があります。この検定では離散的な二項分布を使うため、H₀が正しいときの棄却確率は5％以下で、ちょうど5％とは限りません。

検定のp値が0.03でした。「コインが公平である確率は3％」と言えますか？

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言えません。p値は帰無仮説を仮定したとき、観測結果がどれほど極端かを表すために計算する値です。この教材では指定の両側の裾確率を使います。帰無仮説自体の確率ではありません。

公平なコインで1回棄却されました。シミュレーションの誤りですか？

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いいえ。公平でも珍しい結果が出ることがあり、第1種の誤り（正しい帰無仮説の棄却）が起こります。