高校数学Ⅲ · INTERACTIVE LAB
極限を動かして見る
「その値になる」と「限りなく近づく」の違いを、点の動きで確かめよう。
項番号 n
現在の aₙ
極限値 L
横軸は項番号 n、縦軸は aₙ。数列は点で表示（連続な曲線ではありません）。
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1. aₙ = 1/n は、n = 1000で0になる？
なりません。a₁₀₀₀ = 0.001です。どの正の整数nでも1/n > 0ですが、nを限りなく大きくすると0に近づきます。
2. (2n+1)/n の極限値は？
2です。(2n+1)/n = 2+1/n と変形すると、1/n → 0より2に近づくと分かります。
3. (−1)ⁿ/n と (−1)ⁿ の収束の違いは？
前者は符号を交互に変えながら、絶対値1/nが0に近づくため0に収束します。後者は−1と1を行き来し、1つの値に近づかないため収束しません。
左側（x < 1）右側（x > 1）
点Pの x
f(x)
x = 1での値
点Pをドラッグ、またはグラフをタップしてxを変更できます。
左側極限
右側極限
両側極限
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1. f(1)が未定義なら、x → 1の極限も存在しない？
いいえ。極限は1の近くの値で決まります。(x²−1)/(x−1) = x+1（x ≠ 1）なので、f(1)は未定義でも、極限値は2です。
2. 左側極限が1、右側極限が3のとき、両側極限は？
存在しません。両側極限が存在するには、左側極限と右側極限が同じ値になる必要があります。
点Pの x
現在の y
この方向の極限
負のx正のx破線：漸近線
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1. 1/xで、x → 0⁺ と x → 0⁻ の違いは？
x → 0⁺では +∞、x → 0⁻では −∞に発散します。符号が異なるため、x → 0の両側極限は存在しません。∞は実数の値ではなく、限りなく大きくなることを表す記号です。
2. sin(1/x)は、x → 0で0に収束する？
収束しません。1/xが限りなく大きくなると、sin(1/x)は−1から1の間を振動し続けます。x → 0⁺でも、x → 0⁻でも極限は存在しません。
3. sin(1/x)で x → ±∞ のときは？
1/x → 0なので、sin(1/x) → sin 0 = 0です。0に近づく場合と無限大へ向かう場合では、結果が異なります。