接線と法線を動かす
グラフをドラッグしても点Pを動かせます。再生中も手動操作で停止します。
傾きが0のときは？
接線は水平です。それに垂直な法線は x = 点Pのx座標 という垂直線になります。
法線の傾き −1/f′(x) は、f′(x) ≠ 0 の場合だけ使えます。
確認問題
f(x) = x³ − 3x の x = 0 における接線と法線の方程式を求めよう。
答えと考え方を表示
P(0, 0)、f′(0) = −3。接線は y = −3x、法線は y = x/3。2つの傾きの積は −1 です。
グラフと符号を比べる
各グラフをドラッグして、同じxの位置を比較できます。
微分が伝えること
f′(x) > 0 → 増加
f′(x) < 0 → 減少
f′の符号が＋から−に変わる点は極大、−から＋に変わる点は極小です。f′ = 0 だけでは極値とは限りません。
f″ > 0：下に凸（接線の傾きが増える）
f″ < 0：上に凸（接線の傾きが減る）
凹凸が切り替わる点が変曲点です。f″ = 0 だけで判定せず、前後の符号を調べます。
各グラフの縦軸の尺度は異なります。破線は同じxの位置です。
増減表 青い列＝現在のx
確認問題
f(x) = x³ − 3x の極大点・極小点・変曲点を求めよう。
答えと考え方を表示
f′(x) = 3x² − 3 より、極大点は (−1, 2)、極小点は (1, −2)。f″(x) = 6x の符号は x = 0 の前後で変わるので、変曲点は (0, 0) です。
条件から最適な形へ
最適化の手順
① 条件から1変数の関数を作る。
② 変数の範囲を確認する。
③ 導関数の符号で増減を調べる。
④ 停留点と、含まれる端点を比較する。
極値は近くでの大小。最大・最小は指定された範囲全体での大小です。
解法・最大値／最小値を表示
確認問題
周の長さが24 cmの長方形について、面積を最大にする縦・横と、その面積を求めよう。
答えと考え方を表示
A(x) = x(12 − x)、0 < x < 12。A′(x) = 12 − 2x より x = 6。前後で＋から−に変わるので最大。縦6 cm、横6 cm、最大面積36 cm² です。