中学3年数学・２次関数

初級：２次関数と変域（全10問）

問1
関数 y = 2x² について、x の変域が -1 ≦ x ≦ 3 のとき、y の変域を求めなさい。
解答: 0 ≦ y ≦ 18
解説: x = 0 を含むため、y の最小値は 0 です。x = -1 のとき y = 2×(-1)² = 2、x = 3 のとき y = 2×3² = 18 となり、最大値は 18 です。よって 0 ≦ y ≦ 18 となります。
問2
関数 y = -x² について、x の変域が -2 ≦ x ≦ 1 のとき、y の変域を求めなさい。
解答: -4 ≦ y ≦ 0
解説: グラフは上に凸の放物線で、x = 0 を含みます。x = 0 のとき y = 0 が最大値です。x = -2 のとき y = -(-2)² = -4 でこれが最小値となります。よって -4 ≦ y ≦ 0 です。
問3
関数 y = (1/2)x² について、x の変域が 2 ≦ x ≦ 4 のとき、y の変域を求めなさい。
解答: 2 ≦ y ≦ 8
解説: x の変域に 0 は含まれていません。x = 2 のとき y = (1/2)×2² = 2、x = 4 のとき y = (1/2)×4² = 8 となり、変域は 2 ≦ y ≦ 8 です。
問4
関数 y = -3x² について、x の変域が -3 ≦ x ≦ -1 のとき、y の変域を求めなさい。
解答: -27 ≦ y ≦ -3
解説: x の変域に 0 は含まれません。x = -3 のとき y = -3×(-3)² = -27（最小値）、x = -1 のとき y = -3×(-1)² = -3（最大値）となります。よって -27 ≦ y ≦ -3 です。
問5
関数 y = ax² で、x の変域が -1 ≦ x ≦ 3 のとき、y の変域が 0 ≦ y ≦ 18 です。定数 a の値を求めなさい。
解答: a = 2
解説: x の変域が 0 を含み、最大値が 18 になるのは x = 3 のときです。18 = a×3² より 9a = 18、したがって a = 2 となります。
問6
関数 y = ax² で、x の変域が -3 ≦ x ≦ 2 のとき、y の変域が -18 ≦ y ≦ 0 です。定数 a の値を求めなさい。
解答: a = -2
解説: y の最大値が 0 で負の値を含んでいるため、グラフは上に凸 (a < 0) です。絶対値が最も大きい x = -3 のとき最小値 -18 をとります。-18 = a×(-3)² より 9a = -18、よって a = -2 です。
問7
関数 y = x² について、x の変域が a ≦ x ≦ 3 のとき、y の変域が 4 ≦ y ≦ 9 です。負の数 a の値を求めなさい。
解答: a = -2
解説: 最大値は x = 3 のときの 9 です。最小値が 4 になるのは、x² = 4 より x = ±2 です。a は負の数なので a = -2 となります。
問8
関数 y = 3x² について、x の変域が -2 ≦ x ≦ b のとき、y の変域が 0 ≦ y ≦ 27 です。正の数 b の値を求めなさい。
解答: b = 3
解説: 最小値は 0 です。最大値が 27 になるのは、3x² = 27 より x² = 9、x = ±3 です。b は正の数なので b = 3 です。
問9
関数 y = ax² について、x の変域が -2 ≦ x ≦ 4 のとき、y の変域が 0 ≦ y ≦ 32 です。定数 a の値を求めなさい。
解答: a = 2
解説: 最小値は 0 で、x の絶対値が最も大きいのは x = 4 のときです。32 = a×4² より 16a = 32、したがって a = 2 です。
問10
関数 y = -2x² について、x の変域が -3 ≦ x ≦ a のとき、y の変域が -18 ≦ y ≦ 0 です。a が負の数のとき、a の値を求めなさい。
解答: a = -3
解説: 上に凸のグラフで、最大値は 0 です。最小値が -18 になるのは、-2x² = -18 より x² = 9、x = ±3 です。a は負の数なので a = -3 です。

中級：２次関数のグラフと図形（全10問）

問1
下の図のように、関数 y = x² のグラフ上に 2点 A, B があり、それぞれの x 座標が -1、2 です。直線 AB の式を求めなさい。
x y A(-1, 1) B(2, 4)
解答: y = x + 2
解説: 点 A の座標は (-1, 1)、点 B の座標は (2, 4) です。直線の方程式を y = ax + b とおくと、傾き a = (4 - 1) / (2 - (-1)) = 3 / 3 = 1 です。y = x + b に (2, 4) を代入して 4 = 2 + b より b = 2。よって y = x + 2 です。
問2
関数 y = x² のグラフ上の 2点 A, B の x 座標がそれぞれ -2、4 のとき、直線 AB の傾きを求めなさい。
解答: 傾き 2
解説: ２次関数 y = ax² において、グラフ上の x 座標が p から q まで変化するときの直線の傾きは a(p + q) で求められます。ここでは a = 1、p = -2、q = 4 なので、傾きは 1 × (-2 + 4) = 2 となります。
問3
関数 y = 2x² のグラフと直線 y = 2x + 4 の交点の座標をすべて求めなさい。
解答: (-1, 2), (2, 8)
解説: 2x² = 2x + 4 を解きます。両辺を 2 で割ると x² = x + 2、移項して x² - x - 2 = 0。因数分解して (x - 2)(x + 1) = 0 より x = -1, 2。それぞれ y 座標を求めると (-1, 2) と (2, 8) になります。
問4
下の図のように、関数 y = (1/2)x² のグラフ上に x 座標が -2 と 4 である点 A, B があります。直線 AB と y 軸との交点 P の座標を求めなさい。
A(-2, 2) B(4, 8) P(0, 4)
解答: (0, 4)
解説: 点 A の座標は (-2, 2)、点 B は (4, 8) です。直線の傾きは (8 - 2) / (4 - (-2)) = 6 / 6 = 1 です。y = x + b に (4, 8) を代入すると 8 = 4 + b より b = 4 となり、切片は 4 です。よって (0, 4) です。
問5
関数 y = x² のグラフ上に x 座標がそれぞれ -3 と 1 である 2点 A, B があります。直線 AB の切片（y 軸との交点の y 座標）を求めなさい。
解答: 3
解説: 点 A は (-3, 9)、点 B は (1, 1) です。傾きは (1 - 9) / (1 - (-3)) = -8 / 4 = -2 です。y = -2x + b に (1, 1) を代入すると 1 = -2×1 + b より b = 3 となります。
問6
関数 y = ax² のグラフと直線 y = -x + 6 が 2点 A, B で交わっています。点 A の x 座標が -3 のとき、定数 a の値を求めなさい。
解答: a = 1
解説: 点 A は直線 y = -x + 6 上にもあるので、x = -3 を代入すると y = -(-3) + 6 = 9 となり、点 A の座標は (-3, 9) です。これが y = ax² 上にあるので、9 = a×(-3)² より 9a = 9、したがって a = 1 です。
問7
関数 y = x² のグラフ上に 2点 A(-2, 4)、B(3, 9) があります。直線 AB と x 軸との交点の座標を求めなさい。
解答: (-6, 0)
解説: 直線 AB の傾きは (9 - 4) / (3 - (-2)) = 5 / 5 = 1 です。式を y = x + b とし、(3, 9) を代入すると 9 = 3 + b より b = 6 なので、直線は y = x + 6 です。x 軸との交点（y = 0）を求めると 0 = x + 6 より x = -6 となります。よって (-6, 0) です。
問8
関数 y = 2x² のグラフと直線 y = 8 によって囲まれた図形の面積を求めなさい。
y = 8
解答: 32/3 (または 10と2/3)
解説: 交点の x 座標は 2x² = 8 より x² = 4 から x = -2, 2 です。底辺は直線 y = 8 上の幅で 2 - (-2) = 4、高さは原点から 8 までなので 8 です。放物線と直線の三角形の面積公式 (1/3) × 底辺 × 高さ より、(1/3) × 4 × 8 = 32/3 となります。
問9
点 P(2, 4) を通り、関数 y = x² のグラフと点 P で接する直線の式を求めなさい。
解答: y = 4x - 4
解説: 放物線 y = x² 上の点 (t, t²) における接線の傾きは 2t です。点 P の x 座標は 2 なので、傾きは 2 × 2 = 4 です。直線の方程式を y = 4x + b とし、点 P(2, 4) を代入すると 4 = 4×2 + b より b = -4 となり、y = 4x - 4 です。
問10
関数 y = x² のグラフ上に 2点 A(-1, 1)、B(2, 4) があります。原点 O を通る直線が線分 AB と交わるとき、三角形 OAB の面積を直線が 2 等分するための直線の傾きを求めなさい。
解答: 5
解説: 三角形 OAB の面積を原点を通る直線が 2 等分するとき、その直線は線分 AB の中点を通ります。点 A(-1, 1) と B(2, 4) の中点は、((-1+2)/2, (1+4)/2) = (1/2, 5/2) です。原点 (0, 0) とこの中点を通る直線の傾きは (5/2) / (1/2) = 5 となります。