次の２次方程式を解きなさい。
\(x^2 = 49\)
\(x\) は 49 の平方根なので
\[x = \pm\sqrt{49} = \pm 7\]\(3x^2 - 75 = 0\)
\(-75\) を移項し、両辺を 3 でわります。
\[\begin{aligned} 3x^2 &= 75 \\ x^2 &= 25 \\ x &= \pm 5 \end{aligned}\]\((x-3)^2 = 16\)
\(x-3\) をひとまとまりと見て、平方根を考えます。
\[\begin{aligned} x-3 &= \pm 4 \\ x &= 3 \pm 4 \end{aligned}\]\(x = 3+4 = 7\)，\(x = 3-4 = -1\)
\(x^2 + 5x + 6 = 0\)
積が 6、和が 5 になる2数は 2 と 3 なので、因数分解できます。
\[(x+2)(x+3) = 0\]\(x+2=0\) または \(x+3=0\) より \(x=-2,\ -3\)
\(x^2 - 8x + 16 = 0\)
左辺は \((a-b)^2\) の形に因数分解できます。
\[(x-4)^2 = 0\]\(x-4=0\) より \(x=4\)。このように解が1つになる場合もあります。
\(x^2 - 7x = 0\)
共通因数 \(x\) でくくります。
\[x(x-7) = 0\]\(x=0\) または \(x-7=0\) より \(x=0,\ 7\)
※ 両辺を \(x\) でわると \(x=0\) の解が失われるので、わってはいけません。
\(x^2 + 6x - 2 = 0\)
因数分解できないので、\((x+p)^2 = q\) の形に変形します（平方完成）。\(x\) の係数 6 の半分の2乗 \(3^2=9\) を両辺に加えます。
\[\begin{aligned} x^2 + 6x &= 2 \\ x^2 + 6x + 9 &= 2 + 9 \\ (x+3)^2 &= 11 \\ x+3 &= \pm\sqrt{11} \\ x &= -3 \pm \sqrt{11} \end{aligned}\]解の公式を使っても同じ答えになります。
\(2x^2 - 5x + 1 = 0\)
解の公式 \(x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\) に \(a=2,\ b=-5,\ c=1\) を代入します。
\[x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \times 2 \times 1}}{2 \times 2} = \frac{5 \pm \sqrt{25-8}}{4} = \frac{5 \pm \sqrt{17}}{4}\]\(3x^2 + 4x - 2 = 0\)
解の公式に \(a=3,\ b=4,\ c=-2\) を代入します。
\[\begin{aligned} x &= \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4 \times 3 \times (-2)}}{2 \times 3} = \frac{-4 \pm \sqrt{40}}{6} \\ &= \frac{-4 \pm 2\sqrt{10}}{6} = \frac{-2 \pm \sqrt{10}}{3} \end{aligned}\]※ \(\sqrt{40} = 2\sqrt{10}\) と簡単にしてから約分します。
\((x+2)(x-3) = 6\)
右辺が 0 ではないので、まず展開して整理します。
\[\begin{aligned} x^2 - x - 6 &= 6 \\ x^2 - x - 12 &= 0 \\ (x-4)(x+3) &= 0 \end{aligned}\]よって \(x = 4,\ -3\)
※「\(x+2=6\) または \(x-3=6\)」とするのは誤りです。積が 0 のときだけ、この考え方が使えます。
方程式をつくって解き、解が問題に適しているか確かめて答えなさい。
ある数を2乗した数は、もとの数の3倍より10大きくなります。もとの数を求めなさい。
もとの数を \(x\) とすると
\[\begin{aligned} x^2 &= 3x + 10 \\ x^2 - 3x - 10 &= 0 \\ (x-5)(x+2) &= 0 \end{aligned}\]\(x = 5,\ -2\)。「ある数」には条件がないので、どちらも問題に適しています。
連続する2つの正の整数があり、その積は132です。この2つの整数を求めなさい。
小さいほうの整数を \(x\) とすると、大きいほうは \(x+1\)。
\[\begin{aligned} x(x+1) &= 132 \\ x^2 + x - 132 &= 0 \\ (x+12)(x-11) &= 0 \end{aligned}\]\(x = -12,\ 11\)。\(x\) は正の整数なので \(x = -12\) は適さず、\(x = 11\)。
連続する3つの自然数があります。最も小さい数と最も大きい数の積は、中央の数の4倍より4大きくなります。この3つの自然数を求めなさい。
中央の数を \(n\) とすると、3つの数は \(n-1,\ n,\ n+1\)。
\[\begin{aligned} (n-1)(n+1) &= 4n + 4 \\ n^2 - 1 &= 4n + 4 \\ n^2 - 4n - 5 &= 0 \\ (n-5)(n+1) &= 0 \end{aligned}\]\(n = 5,\ -1\)。\(n\) は2以上の自然数なので \(n = 5\)。
確かめ：\(4 \times 6 = 24\)，\(5 \times 4 + 4 = 24\)
縦20m、横30mの長方形の土地に、図のように同じ幅の道を縦と横に1本ずつつくり、残りを畑にします。畑の面積が504m²になるとき、道の幅を求めなさい。
道の幅を \(x\) m とします。道を端に寄せて考えると、畑は縦 \((20-x)\) m、横 \((30-x)\) m の長方形と同じ面積になります。
\[\begin{aligned} (30-x)(20-x) &= 504 \\ x^2 - 50x + 600 &= 504 \\ x^2 - 50x + 96 &= 0 \\ (x-2)(x-48) &= 0 \end{aligned}\]\(x = 2,\ 48\)。\(0 \lt x \lt 20\) なので \(x = 48\) は適さず、\(x = 2\)。
正方形の厚紙の四すみから、1辺が4cmの正方形を切り取り、点線で折り曲げてふたのない箱をつくります。箱の容積が256cm³になるとき、もとの厚紙の1辺の長さを求めなさい。
厚紙の1辺を \(x\) cm とすると、箱の底面は1辺 \((x-8)\) cm の正方形、高さは 4 cm。
\[\begin{aligned} 4(x-8)^2 &= 256 \\ (x-8)^2 &= 64 \\ x-8 &= \pm 8 \end{aligned}\]\(x = 16,\ 0\)。箱ができるためには \(x \gt 8\) なので \(x = 16\)。
ある正方形の縦を3cm長くし、横を2cm短くして長方形をつくったところ、面積が36cm²になりました。もとの正方形の1辺の長さを求めなさい。
正方形の1辺を \(x\) cm とします。
\[\begin{aligned} (x+3)(x-2) &= 36 \\ x^2 + x - 6 &= 36 \\ x^2 + x - 42 &= 0 \\ (x+7)(x-6) &= 0 \end{aligned}\]\(x = -7,\ 6\)。\(x \gt 2\) なので \(x = 6\)。
図のように、\(\angle B = 90^\circ\)，\(AB = BC = 12\) cm の直角三角形ABCがあります。点Pは A を出発して辺AB上を B まで毎秒1cmで動き、点Qは P と同時に B を出発して辺BC上を C まで毎秒2cmで動きます。△PBQの面積が27cm²になるのは、出発してから何秒後ですか。
出発して \(x\) 秒後とすると、\(PB = 12 - x\) (cm)，\(BQ = 2x\) (cm)。
\[\begin{aligned} \frac{1}{2} \times (12-x) \times 2x &= 27 \\ x(12-x) &= 27 \\ x^2 - 12x + 27 &= 0 \\ (x-3)(x-9) &= 0 \end{aligned}\]\(x = 3,\ 9\)。Q が C に着くのは \(12 \div 2 = 6\) 秒後なので \(0 \le x \le 6\)。よって \(x = 9\) は適さず、\(x = 3\)。
2けたの自然数があります。十の位の数と一の位の数の和は10で、十の位の数と一の位の数の積は、もとの自然数より52小さくなります。もとの自然数を求めなさい。
十の位の数を \(x\) とすると、一の位の数は \(10-x\)、もとの自然数は \(10x + (10-x) = 9x + 10\)。
\[\begin{aligned} x(10-x) &= (9x + 10) - 52 \\ -x^2 + 10x &= 9x - 42 \\ x^2 - x - 42 &= 0 \\ (x-7)(x+6) &= 0 \end{aligned}\]\(x = 7,\ -6\)。\(x\) は1から9の整数なので \(x = 7\)、一の位は 3。
確かめ：\(7 \times 3 = 21\)，\(73 - 52 = 21\)
図のように、直線 \(y = -x + 8\) 上に点Pがあり、Pの \(x\) 座標，\(y\) 座標はともに正です。Pから \(x\) 軸，\(y\) 軸にそれぞれ垂線PA，PBをひきます。長方形OAPBの面積が15になるとき、点Pの座標を求めなさい。
点Pの \(x\) 座標を \(t\) とすると、\(y\) 座標は \(-t+8\)。よって \(OA = t\)，\(OB = 8 - t\)。
\[\begin{aligned} t(8-t) &= 15 \\ t^2 - 8t + 15 &= 0 \\ (t-3)(t-5) &= 0 \end{aligned}\]\(t = 3,\ 5\)。どちらも \(0 \lt t \lt 8\) を満たすので、両方とも適しています。
縦8m、横12mの長方形の花だんの周りに、図のように同じ幅の通路をつくります。通路の面積が花だんの面積と等しくなるとき、通路の幅を求めなさい。
通路の幅を \(x\) m とすると、外側の長方形は縦 \((8+2x)\) m、横 \((12+2x)\) m。花だんの面積は \(8 \times 12 = 96\) (m²)。
\[\begin{aligned} (8+2x)(12+2x) - 96 &= 96 \\ 4x^2 + 40x + 96 - 96 &= 96 \\ 4x^2 + 40x - 96 &= 0 \\ x^2 + 10x - 24 &= 0 \\ (x+12)(x-2) &= 0 \end{aligned}\]\(x = -12,\ 2\)。\(x \gt 0\) なので \(x = 2\)。