中学3年数学・平方根

初級　平方根

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(1)
\(25\) の平方根を求めなさい。
答え　\(\pm 5\)
\(5^2 = 25\)、\((-5)^2 = 25\) なので、2乗して \(25\) になる数は \(5\) と \(-5\) の2つです。正の数の平方根は正と負の2つあることに注意します。
(2)
\(7\) の平方根を、根号を使って表しなさい。
答え　\(\pm\sqrt{7}\)
\(7\) は整数の2乗で表せないので、根号を使って \(\sqrt{7}\) と \(-\sqrt{7}\) と表します。まとめて \(\pm\sqrt{7}\) と書きます。
(3)
\(\sqrt{49}\) を根号を使わずに表しなさい。
答え　\(7\)
\(\sqrt{49}\) は \(49\) の平方根のうち正のほうです。\(7^2 = 49\) なので \(\sqrt{49} = 7\)。（\(-7\) は含みません。）
(4)
\(-\sqrt{0.16}\) を根号を使わずに表しなさい。
答え　\(-0.4\)
\(0.4^2 = 0.16\) なので \(\sqrt{0.16} = 0.4\)。よって \(-\sqrt{0.16} = -0.4\) です。
(5)
\(\sqrt{(-6)^2}\) を根号を使わずに表しなさい。
答え　\(6\)
\((-6)^2 = 36\) なので \(\sqrt{(-6)^2} = \sqrt{36} = 6\)。\(-6\) としないように注意します（\(\sqrt{\ }\) の値は正）。
(6)
\(\left(-\sqrt{5}\,\right)^2\) の値を求めなさい。
答え　\(5\)
\(-\sqrt{5}\) は \(5\) の平方根の1つなので、2乗すると \(5\) になります。負の数の2乗なので答えは正です。
(7)
\(4\) と \(\sqrt{15}\) の大小を、不等号を使って表しなさい。
答え　\(4 > \sqrt{15}\)
\(4 = \sqrt{16}\) と表せます。\(16 > 15\) なので \(\sqrt{16} > \sqrt{15}\)、つまり \(4 > \sqrt{15}\) です。
(8)
\(-\sqrt{10}\) と \(-3\) の大小を、不等号を使って表しなさい。
答え　\(-\sqrt{10} < -3\)
\(3 = \sqrt{9}\) で、\(\sqrt{10} > \sqrt{9}\) より \(\sqrt{10} > 3\)。負の数は絶対値が大きいほど小さいので、\(-\sqrt{10} < -3\) です。
(9)
次の数のうち、無理数をすべて選びなさい。
\(\sqrt{2}\)，\(\sqrt{\dfrac{4}{9}}\)，\(-\sqrt{36}\)，\(\sqrt{0.1}\)
答え　\(\sqrt{2}\)，\(\sqrt{0.1}\)
\(\sqrt{\dfrac{4}{9}} = \dfrac{2}{3}\)、\(-\sqrt{36} = -6\) は分数（整数）で表せるので有理数です。\(\sqrt{2}\) と \(\sqrt{0.1}\) は分数で表せないので無理数です。
(10)
\(2 < \sqrt{a} < 3\) を満たす自然数 \(a\) は何個ありますか。
答え　\(4\) 個
各辺を2乗すると \(4 < a < 9\)。これを満たす自然数は \(5,\,6,\,7,\,8\) の \(4\) 個です。

中級　根号を含む式

▼をクリックすると解答・解説が表示されます。答えは最も簡単な形で答えなさい。

(1)
\(\sqrt{3} \times \sqrt{12}\) を計算しなさい。
答え　\(6\)
\(\sqrt{3} \times \sqrt{12} = \sqrt{3 \times 12} = \sqrt{36} = 6\)
(2)
\(\sqrt{48}\) を \(a\sqrt{b}\) の形に表しなさい。
答え　\(4\sqrt{3}\)
\(48 = 4^2 \times 3\) なので \(\sqrt{48} = \sqrt{4^2 \times 3} = 4\sqrt{3}\)
(3)
\(3\sqrt{2} \times 2\sqrt{6}\) を計算しなさい。
答え　\(12\sqrt{3}\)
\(3\sqrt{2} \times 2\sqrt{6} = 6\sqrt{12} = 6 \times 2\sqrt{3} = 12\sqrt{3}\)
(4)
\(\sqrt{54} \div \sqrt{6}\) を計算しなさい。
答え　\(3\)
\(\sqrt{54} \div \sqrt{6} = \sqrt{\dfrac{54}{6}} = \sqrt{9} = 3\)
(5)
\(\dfrac{6}{\sqrt{3}}\) の分母を有理化しなさい。
答え　\(2\sqrt{3}\)
分母と分子に \(\sqrt{3}\) をかけます。
\(\dfrac{6}{\sqrt{3}} = \dfrac{6 \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \dfrac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}\)
(6)
\(2\sqrt{5} + 3\sqrt{5} - \sqrt{5}\) を計算しなさい。
答え　\(4\sqrt{5}\)
\(\sqrt{5}\) を文字のように考えてまとめます。\((2 + 3 - 1)\sqrt{5} = 4\sqrt{5}\)
(7)
\(\sqrt{18} - \sqrt{8}\) を計算しなさい。
答え　\(\sqrt{2}\)
\(\sqrt{18} = 3\sqrt{2}\)、\(\sqrt{8} = 2\sqrt{2}\) なので、\(3\sqrt{2} - 2\sqrt{2} = \sqrt{2}\)
(8)
\(\sqrt{27} + \sqrt{12} - \sqrt{75}\) を計算しなさい。
答え　\(0\)
\(\sqrt{27} = 3\sqrt{3}\)、\(\sqrt{12} = 2\sqrt{3}\)、\(\sqrt{75} = 5\sqrt{3}\)。
\(3\sqrt{3} + 2\sqrt{3} - 5\sqrt{3} = 0\)
(9)
\(\sqrt{2}\left(\sqrt{6} + 3\right)\) を計算しなさい。
答え　\(2\sqrt{3} + 3\sqrt{2}\)
分配法則を使います。\(\sqrt{2} \times \sqrt{6} + \sqrt{2} \times 3 = \sqrt{12} + 3\sqrt{2} = 2\sqrt{3} + 3\sqrt{2}\)
(10)
\(\left(\sqrt{5} + 2\right)^2\) を計算しなさい。
答え　\(9 + 4\sqrt{5}\)
乗法公式 \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) を使います。
\(\left(\sqrt{5}\right)^2 + 2 \times \sqrt{5} \times 2 + 2^2 = 5 + 4\sqrt{5} + 4 = 9 + 4\sqrt{5}\)