中学1年数学・空間図形

【解説】 表面積 $=$ 底面積 $\times 2 +$ 側面積 です。
・底面積 $= \pi \times 4^2 = 16\pi\text{ cm}^2$ （2つで $32\pi\text{ cm}^2$）
・側面積 $=$ (底面の周の長さ) $\times$ 高さ $= (2\pi \times 4) \times 6 = 8\pi \times 6 = 48\pi\text{ cm}^2$
・表面積 $= 32\pi + 48\pi = 80\pi\text{ cm}^2$

【解説】 体積の計算には高さを用います（母線は使用しません）。
底面積 $= \pi \times 6^2 = 36\pi\text{ cm}^2$
体積 $V = \frac{1}{3} \times 36\pi \times 8 = 12\pi \times 8 = 96\pi\text{ cm}^3$

【解説】 円錐の側面（扇形）の中心角公式は $a = 360^\circ \times \frac{\text{底面の半径}}{\text{母線の長さ}}$ です。
$a = 360^\circ \times \frac{3}{12} = 360^\circ \times \frac{1}{4} = 90^\circ$

【解説】 底面積と高さが同じ柱体と錐体の体積比は $3 : 1$ です。
したがって、円錐の体積は円柱の体積の $\frac{1}{3}$ になるので、
$54\pi \times \frac{1}{3} = 18\pi\text{ cm}^3$

【解説】 全体の円柱の体積から、くりぬいた内側の円柱の体積を引きます。
・全体体積 $= \pi \times 4^2 \times 6 = 96\pi\text{ cm}^3$
・穴の体積 $= \pi \times 2^2 \times 6 = 24\pi\text{ cm}^3$
・くりぬき後の体積 $= 96\pi - 24\pi = 72\pi\text{ cm}^3$

【解説】 円錐の側面積は、公式 $\text{側面積} = \pi \times \text{母線} \times \text{底面の半径}$ で一発で求めることができます。
$\text{側面積} = \pi \times 8 \times 3 = 24\pi\text{ cm}^2$
（※中心角を求めてから扇形の面積を出しても同様になります。）

【解説】
・球の体積 $= \frac{4}{3}\pi r^3$
・円柱の体積 $= \text{底面積} \times \text{高さ} = (\pi r^2) \times 2r = 2\pi r^3$
比をとると、$\frac{4}{3}\pi r^3 : 2\pi r^3 = \frac{4}{3} : 2 = 4 : 6 = 2 : 3$ となります。（これはアルキメデスが発見した有名な性質です）

【解説】
・底面積 $= 10 \times 10 = 100\text{ cm}^2$
・側面三角形1つの面積 $= \frac{1}{2} \times 10 \times 12 = 60\text{ cm}^2$
・側面積（4面分） $= 60 \times 4 = 240\text{ cm}^2$
・表面積 $= 100 + 240 = 340\text{ cm}^2$

【解説】 立方体の辺は全部で12本あります。
頂点 $A$ に集まる辺3本（$AB, AD, AE$）と、頂点 $G$ に集まる辺3本（$CB, CD, CG$）は、それぞれ点 $A, G$ で対角線 $AG$ と交わるため「ねじれの位置」ではありません。
残った6本の辺（$BC, CD, DH, BF, EF, EH$）はどれも対角線 $AG$ と交わらず、平行でもないため「ねじれの位置」になります。

【解説】 立方体には面が6つしかないため、切断面の多角形の頂点は最大でも6個（六角形）までしか作ることができません。したがって、角が8つある正八角形は絶対に作ることができません。
（※各頂点の角を均等に切ることで、正三角形、長方形、正六角形などはすべて作ることができます。）