中学3年 数学 ／ 面積で見る三平方の定理

辺が変わっても、面積の和は同じ。

直角をはさむ2辺を a（底辺）、b（高さ）、直角の向かい側の辺を c（斜辺） とします。

a² ＋ b² ＝ c²
3つの正方形の面積スライダーで辺の長さを変えると、正方形の面積が変化します。
図の縮尺は固定。1目盛りは 1 cm × 1 cm です。
色のついた図形は、すべて正方形です。

辺の長さを変えてみよう

斜辺

斜辺は底辺と高さに合わせて自動で変わります。直角は常に90°です。

正方形の面積を比べよう

底辺の正方形cm² ／ a × a
高さの正方形cm² ／ b × b
斜辺の正方形cm² ／ c × c
a² ＋ b²
c²

棒の長さで面積を比較しています（背景の全長は72 cm²）。上の2色を合わせると、下の紫と同じ長さになります。

青の正方形の面積 ＋ オレンジの正方形の面積 ＝ 紫の正方形の面積
辺を伸ばしたり縮めたりしても、この関係は変わりません。
授業で確かめる3つのポイント
  1. 「3・4・5」を選ぶと、面積は 9 ＋ 16 ＝ 25。辺の長さの和「3 ＋ 4」とは違います。
  2. 高さ b をそのままにして底辺 a を動かすと、青と紫の面積が変わり、オレンジの面積は変わりません。
  3. 底辺と高さを両方2倍にすると、それぞれの正方形の面積は4倍になります。例：a＝2、b＝3 → a＝4、b＝6。

この定理を使える条件は、三角形が直角三角形であることです。直角をはさむ2辺の2乗の和が、斜辺の2乗になります。

なぜ、いつも成り立つの？（面積による証明）

一辺が a＋b の大きな正方形の四隅に、同じ直角三角形を4枚、中央にすき間ができるように並べると、中央には一辺 c の正方形ができます。

大きな正方形の面積から、4枚の直角三角形の面積を引くと、

c² ＝ (a＋b)² − 4 × ab/2
＝ a² ＋ b²

つまり、特定の長さだけでなく、どの直角三角形でも成り立ちます。

この教材では c＝√(a²＋b²) で斜辺を計算しています。斜辺の長さは必要に応じて小数第3位までの近似値、面積は入力した辺の長さから求めた値を表示しています。